Continuous Distributions

Uniform

Spreading mass uniformly over an interval [a,b].  f(x | a,b) = 1/(a-b) if x is in [a,b].  0 o.w

EX = (b+a)/2

VARX = (b-a)^2 / 12

Gamma

In gamma function, the parameter a is known as the shape paramter since it most influences the peakedness of the distribution while B is called the scale parameter since most of its influence is on the spread of the distribution.

EX = aB

VarX = aB^2

Gamma and Poisson relationship

X~Gamma (a,b) where a is an integer; Y~ Poisson(x/b), then

P(X <= x) = P (Y >= a)

Gamma and Chi Squared relationship

X ~ Gamma (p/2, 2) and Y ~ Chi (p)

pdf of X = pdf of Y and the mean, variance and mgf of the chi squared distribution can be calculated by using the gamma formulas.

Gamma and Exponential relationship

X~ Gamma (1, b) and  Y ~ Exp (b)

pdf of X = pdf of Y

Exponential distribution can be used to model lifetimes and it’s analogous to the use of Geometric distribution in the discrete dist.

Weibull and Exponential

X ~ Exp (b) , then Y = X ^ (1/gam) ~ Weibull (gam, b)

Useful in the analysis of failure time data or for modeling hazard function

Normal (or Gaussian)

X ~ N(mu, sigma ^2),  (X-mu)/sigma ~ N(0, 1) <- Standard Normal

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Discrete Distributions

Uniform (1, N)

P(X=x|N) = 1/N where N is total number of outcomes.  This distribution puts equal mass on each of the outcomes 1, 2, .. N

Hyper Geometric

P(X=x|N, K, M); Let N= total number, K = sample size, M = number of red.  What is the probability of X in K?   P(X=x|N, M, K) = (M choose x) * (N-M choose K-x) / (N choose K) , x = 1, .., K

Bernoulli

X = 1 with prob. p, X=0 with prob 1-p

Binomial

Based on Bernoulli trial. Y~ Bin (n, p) and Y = sum (Xi) where X ~ Bernoulli (p)

Poisson

Number of occurances in a given time interval.  The probability of an arrival is proportional to the length of waiting time.  We can use Poisson approximation to binomial for large n and small p.

Examples) bomb hits in an area or distribution of fish in a lake.

Negative Binomial

Binomial = No of successes in fixed time interval

Negative Binomial = No of trials for fixed number of sucesses

Geometric

X can be interpreted as athe trail at which the first success occurs, so we are waiting for the first success.

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죠드푸르 (Johdpur) 와 락나푸르 (Rahknapur)

9월 22일

조드푸르에 향해다리던중 파르비쉬가 친구에게 돈을 꾸어야된다며 잠깐 어떤마을에 들렸다. 우리에게는 아주 순진한 운전사처럼 대하지만 어딘지 모르게 조금 수상한것들이 많다.  그래도 우리에게 참 열심히했다.

그 조그마한 마을 우린 파르비쉬친구의 과자가게에 갔다.  우리가 내리자 그동네사람들 하나하나 우리주위에 몰려들기시작했다.  아무런 움직임 없이 우릴 둥그렇게 둘러싸고 표정없이 우릴 쳐다보았다.  그런 그들이 신기한만큼 그들은 우리가 너무 신기했다보다.  아빠가 악수를 권하자, 모두 아빠가 연예인이라도 된듯 아빠의 악수를 받으려 다들 손을 아빠에게로 뼛었다.  그들은 내사진도 찍어갔다.

죠드푸르는 라자스탄 도의 수도인만큼 아주 바쁜 시가지였다.  그곳에서는  메란가르드 성을 들렸다.

9월 23일

아침일찍 타지 호텔에서 아침을 맛있게 먹고 185 킬로를 달려 우린 라나푸르란 곳이이르렀다.  그럭은 1444 개의 기둥이 있는 사원으로 유명하다.  1444 기등이 다 틀린 모양을 하고있다고 한다.   이곳에는 아마 그 사원이 관광지인가보다. 그것을 보기위해 온 유럽관광객들이 드문 보이는듯했다.   그 사원또한 말로는 설명할수없는 곳이였기에 사진으로 대신한다.

아주시골이 이곳은 학교도 가게도 잘보이지안았다.  우리 호텔은 그곳에서 가장 멋있는 곳이였나보다.  동네사는 애들이 걸어다니는 나를 따라도다가 호텔앞에서는 더이상 따라오질았는다.  저녁을 먹으러 그 호텔 식당으로 갔다.  거기에도 우리가 다였다.  식사하는동안 여섯명의 웨이터들이 우리바로앞에서 서있었다.  좀 불편했지만, 그들은 서있다가 우리가 조금이라도 무엇이 필요하면 바로 우리에게와서 물이곤 어떤필요한것을 채워주곤했다.  선희는 저녁후 엄마 아빠 쉴때 밖으로나와 조금 걸어다녔다.  거기에서 놀고있는 한 어린 꼬마 여자애와 남자애를 만났다.  그들은 내가 신기했는지 나에게 자기들이 알고있는 영어숫자세기를 했다.  그들과 말을 할수는 없었지만, 초롱초롱한 그들 눈동자에있는  꿈과 희망이랄까를 본듯하다.  그 조그만 마을에서 공부열심히해서 더 좋은 삶을 찿기만을 그냥 마음속으로 바랬다.  그들은 나를 그들 집으로 데리고가 새끼 소도 보여주고, 자기네들 집도 보여주었다.  그들의 엄마는 옆에있는 파이프에서 나오는 물로 옷을 빨고있었다. 참 예뼜다.  그들은 내가 거기에서 식사를 하고가길 원했지만 난 아쉽게도 그냥 가야된다고 하고 그집을 나왔다.  아이들이 너무 아쉬워하는것같아 조금 미안했다.

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황색의 도시 잘살매르 (Jalsalmer)

9월 20일:  바다바흐, 홀로 버려진채 우뚝서있는 모래위의 정자들

잘살메르는 아마 나에게는 참 인상적인 도시였다.  거의 해질무렵 도착한곳은 잘살메르에 바다 바흐라는 곳이였다.   아주 졍교하게 지여지  거의 100개정도 되는 모래정자같은것들이 도시 밖에 모래산위에 서있었다.  잘보전되지안아 무너진 정자들도 많았다.  저녁 해를 보면  해에 비친 그 많은 정자들과 더 누렇다못해 주홍빛이되버린 모래언덕이 그 쓸쓸이 서있는 정자들의 정교함과 아름다움, 웅장함을 사뭇 더 보여주는듯했다.    비친  외진곳에  거의 버려진 바다바흐를 보며 감탄과 아쉬움으 로  그곳에서 우린 저녁 해를 보냈다.

9월 21일:  잘살메르성과 모래사막 그리고 여행의 하이라이트 환갑잔치

우리는 그곳에서 골반드라는 호텔에 있었다. 그곳에는 수영장도 있었는데, 어떤 외국인들은 비키니를 입고 일광욕을 하고있는것을 보았다.  지금까지 아주 보수적인 인도와는 틀린 서양인, 그리고 그들의 문화가 낯설게 느껴졌다.

아침을 먹고 잘살메르의 모래성를 둘러보았다.  그 모래성은 그냥 감탄어로 밖에 표현할수 없을만큼 대단하였다.  그래서 말를 그치고 200분에 일로도 표현되지는 안는 사진이로나마 보여주련다.

예전 부자들은 하발리라고 하는 큰집을 짓고살았다고한다. 이곳 잘살메르는 사람들에게 노란도시라 불리울만큼 많은것들이 모래로 지어졌다.  하발리또한 그렇다.  우린 옛날 상인들의 부의 상징인 그들의 하발리를 구경하였다.  지금은 사람들도 부도 보두 떠나고 그 후손들 몇몇이 그곳을 지키며 관광객들에게 예전 조상들의 물건들이 팔며 생계를 이어나가고 있었다.

관광을 마친후 그 동네구경겸 동네 음식을 먹고싶어  팔비쉬에게 그냥 몇시간동안 기다리라하고 우린 무작정 시장속으로 들어갔다.   내가 산 가이드 책에 거의에서 동네사람들이 좋아한다는 음식점이 있어 찿아가기위해서였다.  가난한 아이들.. 바삐사는 사람들.  외국인들이 동네 시장을 돌아니는것이 신기했나보다. 다들 우리를 쳐다보았다.  음식점을 찿았고 그곳에서 탈리 (점심으로 여러가지가 한꺼번에 나오는것)을 먹고 망고 라씨도 마셨다.  나름대로 참 재미있었다.

점심을 먹고  해질무우렵 우린  모래사막으로 낙타를 타러갔다.  넓은 모래바다.. 출렁이는 바다의 파도같기도하며 젊잖은 언덕같기도 모래사막.  가끔 홀로 걷는 검은 소들.. 그림처럼 아름다웠다.  거기에서 잘살메르에 매력은 아마도 지는 해에 비치는 모래인것같다.  따뜻함과 외로움을 함께 느끼는듯하다.

우리 모래사막옆에있는 곳에서 저녁을 먹기로하였다.   채식주위의 음식으로 했는데, 인도에서 먹은 음식중 맛이 가장깔끔하고 좋았던것같다.

그곳사람들이 음악과 춤으로 엔터테인을 해주는데 딱 그것만보고 다른 관광객들은 자리를 떳다.  우린 다같이 저녁을 하는줄알았는데 그들이 떠나고나니 갑자기 썰렁해졌다.  우리만 남은것이다.  얘라 보르겠다,  엄마 예순잔치라 생각하고 그냥 우리들끼리 신나게 놀아보자.  우리만을 위한 공연처럼 우리 눈치를 보며 풍악을 울리는 그사람들에 맟쳐, 우리도  그들과 춤추고 마시고 먹으며 신나게 놀다가 집으로 돌아왔다.  인도 풍악에 마추어 한국춤추는 엄마, 약주와 음악에 취하여 열심히 인도 춤을 추시는 아빠, 엄마와 아빠의 장단을 마추어 같이 춤추다 그냥 힘합을 춘 선희,..  참 좋은 시간이였다.  근데 좀 웃겼다. 큭큭


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쥐사원, 낙타농장, 주나갈드 성의 비카네르 ( Bikaner)

비카네르에 도착 우리는 쥐를 신으로 모시는 사원을 들렸다. 아마 몇천마리정도 되는 쥐들이 득실거리는 곳을 인도인들은 신이라면 음식도 나눠먹고 만지기도 하고했다.  쥐들은 검정색이고 아홉마리만 하얀색이라고한다. 하얀쥐를 보면 좋은 운이생긴다고 한다.  선희는 하얀쥐를 보았다.

쥐 사원후에 낙타를 기르고 연구한다는 곳에 들려, 많은 낙타도 보고, 낙타 우유와 낙타 아이스크림을 맛보았다. 어떤 향을 타서 맛이 인도 차맛같은데 아이스크림에 파도 썰어노은것같았다.

비카네르에서  머문곳은 궁궐중 하나인 락스미 니와스에서 묵었다.  이성 근처에는 대학교도 있다고 팔비시가 말해주었다.  정교하게 지어진 성이 아주 크고,  아름답웠다.   그곳에 음식점또한 거의 우리만이 손님인듯하였다.  군사도인 인것갔이 군복입은사람들도 많이보였고,  학생으로 보이는 교육을 받은듯한 얼굴을 가리지 않은 여자들이 오토바이를 타고 도시를 누비는것도 보이고 군사옷을입은 군인들도 여러군데 있는것을 보니 꼭 군사도인인듯한 느낌을 주었다.

엄마와 선희는 저녁에 라자스탄 음악과 춤을 구경하러 나갔다. 아마도 인도여행에서 본중 가장 춤을 잘추는 무용가인것같았다. 빨간색으로 지어진 락스미 성 또한 정교하고 아름지답만 어딘지모르는 위엄이 느끼어졌다.   전 며칠과는 사뭇다른 도시임을 느꼈다.

우리는 거기에서 한국에 가지고갈 물건들을 샀다.  선희는 인도 정통옷인 사리를 샀다.  팔비시는 그가게에서 자기가 말하는 값으로만 사도 잘사는거라했지만, 우리 거기에다가 더 깍아서 사고 아주 뿌듯해하였다.  나중 후에야 안사실은 인도사람들은 장사에서는 우리머리위에있다는거.  그래도 이쁜 사리가 맘에든다.

그다음날에는 비카네르에 있는 주나갈드 (Junagarth) 성을 구경하였다.  여러 왕들 지나간 흔적을들 보고, 그들시대의 무기들또한 구경하였다.  그리고 우리의 그다음 정착지인 잘살메르로 향해 350킬로를 달렸다.

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두쨋날 실크로드에 있던 도시 만다와

다행이도 그다음날 우린 미리 계약했었던 차로 갈타아고 만다와를 향하여 출발..

만다와는 실크로드때 무역인들이 지나가는 길에 자리집고있는 도시였다. 사람들도 많이 살고있고, 조그마한 학교도 있었다.  이곳저곳에서 낙타가죽으로만든 신발과 사리 (인도의 정통옷) 등 여려특산물을 많이 팔았다.   비록 지금은 낡고 관리를 하지않아 손실된 빌딩들만 있지만 실크로드의 전성기때의 분주함과  장인들의 부를 그들이 살고있었던 집들의 규모와 섬세함에서 찿아볼수있었다.

우리 운전사 팔비쉬가 그곳에서 사는 16살의 학생에게 그곳 투어를 맏기였다.  우린 여러 사원과, 하벨리 (큰 집)등을 구경하고 만다와의 거리를 걸어다녔다.  우리가 묵은곳은 캐슬 만다와..

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님라나 (Neemrana) 에서 맞이한 인도의 아침

아침에 일어나서 밖에나가보니, 우리가 하루밤을 보낸곳은 밤에 본 동네랑 너무틀린 고요하고 차분한 분위기의 언이덕에 성이였다.

일하는사람들부터 고요한 동네 웃으며 맞이해주는 주민들.. 아름다운곳이였다

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인도 뉴델리 (New Delhi) 에서의 첫날..

우린 7시간 아시아나항공으로 밤 12시에 인도에 도착하였다.  긴비행기여행과 늦은밤으로 우린 많이 지쳐있었고  시설이 낡은 공항과  낮선 인도인의 얼굴등.. 모든게 낮설고 많은사람들과 복잡한 공항으로인해 더욱 피곤은 더해갔다.

공항에서 짐을찿고 밖으로 나가는데 내이름표를 들고 서있는 정장을한 젊은 청년이 우리를 픽업했다.

차로 우리를 인도하고 그곳에서 5명정도의 사람들이 우리짐을 들어서 차에실어날르는데 도옸다. 차는 첨 내가 계약할때 빌린다고 했던 튼차가아닌 아주 작고 오래되차였고, 우리를 도왔던 사람들로 우리와 한 팀이아닌 거기서 팁받을라고 일하는 사람들이였다.  모드것이 낫설고 모든사람들이 우리를 cheat 하는것같은 느낌이 들었다.

인도의 밤 차거리..

인도의 새벽고속도로는 크다란 짐싥고가는 트럭으로 꽉 차있었고, 차선은 그냥 선일뿐 누구도 지키지않고 오른쪽 왼쪽 들락날락 거리며 c총알 아슬운전을 하며 우 릴어디론지 정처없이 데리고 갔다.  트럭과 충돌를 하지안은것이 기적인것같았다. 그렇게 간지  새벽1시, 2시.. 운전사와 청년은 힌두말로 둘만 이야기하고 우린 프라이드보다 작은차 뒷자석에 쭈그리고 앉아 덜덜떨고있었다.  한 2시30분이되어서 어떤 깜깜하고 이상한 곳이 보였고.  군인같아보이는 사람이 차를세우는것같았고, 운전사가 돈같은걸 건네주는것같이보였다.  그후 그사람은 나무데기로 된 문을 열어서 우리를 보내주었다.. 그리고 우린 계속달렸다.

속으로 난 내가 이 여행사를 제데로 체크하지도 않았는데 혹시 우리가 납치된것은 아닐까.. 이런저런생각을 하고있는데 이상한 오래된것같이 보이는 동네의 꼭대기로 우리를 데리고 가는것이였다.  다행이도 우리가 묵을곳이였다.. 하지만 문도 이상하고 우리 방까지 엄청 많이 걷게하고, 하여튼 내가 좋은 호텔로 해달라고 했는데, 이런저런것들이 너무나 실망스럽고 우리를 거의 새벽3시가 다되여서야 도착하게한 그런 곳에 호텔를 잡았다는것, 후진차에 태웠다는것.. 내일이면 계약취소하고 내가 직접 엄마아빠모시고 다녀야겠다고 생각하고  씩씩거리고 잠이들었다..

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인도여행

IMG_3932_2엄마 예순을 기념으로 인도여행을 준비하는 나에게 그곳에 다녀왔던 친구들은 여러이야기를 많이해주었다.  마음을 비우고 가라는등, 극과극이 한자리에 공존한다는등, 화장실이 불편하다는등..

가기이틀전 토요일에 우리가 도착할곳 뉴델리에 있는 시장에서 폭탄테러로 많은사람이 목숨을잃고 다쳤다.  엄마, 아빠와 난 이틀을남기고 갈것인가 말것인가 고민하다 결국 모두가 가기로 찬성하고 인도여행가길에 나섰다..

무섭고, 위험하고 힘든여행이였지만 많은것을 생각하고 배우게한 아주귀한여행이였다.

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사랑이라..

manoa 049사랑하는 사람들을 보며 아 저것이 사랑이란걸 느낀다.  져스틴이 나에게 하는것을 보고 난 그것이 사랑이구나라 느낀다.  사랑은 사람들이 갖는 너무나 많은 감정을 한단어로 generalized 하는것같아, 사실 난 사랑이란 단어를 별로 좋아하지안는다. 하지만 너무 desperately 내맘을 표현하고싶을때 그만큼의 intensity를 표현할수있는 단어는 사랑 밖에 없는것같다.  desperate 하게 표현하고싶단말..  사랑을 해본사람은 알것이다.

방학이되어 하와이에 와있다.  집에서 키우는 닭이낳는 계란은 주황빛 노란색이다.  하와이에 아침 해를 보면 그런 계란색이 생각난다.  하늘에 색은 콜로라도랑 같다. 하지만 비춰지는 아침 해빛에 색이 아주많이 틀리다. 그리고 아침의 향기가 아주많이 틀리다.  많은 열대 식물들과 꽃향기..    그 색과 향을 먹고싶다.   내 욕심이 참크다.

양상추와 베이즐을 아주 많이 땃다.  조금 식물에게 미안하지만 베이즐이 쓰러지고있는것같아서 그렇게 했다.  하지만 양상추는 내 욕심에 그렇게 많이 딴것같다. 식물을 다룰때도 정성들여 곱게 다루면 그많큼의 보답을 하는것같다. 내욕심만으로가 아니고 그가 잘 자랄수있도록 보살펴주는 그런마음으로..

사랑을 받고 주는것은 아름다운 일이다. 아픔, 슬픔, 기쁨, 즐거움이 함께 따른다.  사랑의 대상이 사람이건 아님 무엇이건 많은 사랑을 하면서 삶이 이어져 굴러가고 그러면서 삶을 느끼는것같다.

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